다음을 풀어보세요: x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

x, y에 대한 해

$$x=14$$

$$y=9$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 7,3의 최소 공통 배수인 21(으)로 곱합니다.

$$3x+7y=105$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 14을(를) 곱합니다.

$$-x+42y=364$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+7y=105$$

수식의 양쪽에서 7y을(를) 뺍니다.

$$3x=-7y+105$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

\frac{1}{3}에 -7y+105을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

다른 수식 -x+42y=364에서 -\frac{7y}{3}+35을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

-1에 -\frac{7y}{3}+35을(를) 곱합니다.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

\frac{7y}{3}을(를) 42y에 추가합니다.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

수식의 양쪽에 35을(를) 더합니다.

$$\frac{133}{3}y=399$$

수식의 양쪽을 \frac{133}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=9$$

x=-\frac{7}{3}y+35에서 y을(를) 9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

-\frac{7}{3}에 9을(를) 곱합니다.

$$x=-21+35$$

35을(를) -21에 추가합니다.

$$x=14$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=14,y=9$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 7,3의 최소 공통 배수인 21(으)로 곱합니다.

$$3x+7y=105$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 14을(를) 곱합니다.

$$-x+42y=364$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=14,y=9$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 7,3의 최소 공통 배수인 21(으)로 곱합니다.

$$3x+7y=105$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 14을(를) 곱합니다.

$$-x+42y=364$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

3x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

단순화합니다.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -3x-7y=-105에서 -3x+126y=1092을(를) 뺍니다.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

-3x을(를) 3x에 추가합니다. -3x 및 3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-7y-126y=-105-1092$$

-7y을(를) -126y에 추가합니다.

$$-133y=-105-1092$$

-105을(를) -1092에 추가합니다.

$$-133y=-1197$$

양쪽을 -133(으)로 나눕니다.

$$y=9$$

-x+42y=364에서 y을(를) 9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x+42\times 9=364$$

42에 9을(를) 곱합니다.

$$-x+378=364$$

수식의 양쪽에서 378을(를) 뺍니다.

$$-x=-14$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=14$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=14,y=9$$