다음을 풀어보세요: x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

x, y에 대한 해

$$x=15$$

$$y=12$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 5,4의 최소 공통 배수인 20(으)로 곱합니다.

$$4x=5y$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

\frac{1}{4}에 5y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5}{4}y$$

다른 수식 -x+y=-3에서 \frac{5y}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

-\frac{5y}{4}을(를) y에 추가합니다.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

양쪽에 -4을(를) 곱합니다.

$$y=12$$

x=\frac{5}{4}y에서 y을(를) 12(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

\frac{5}{4}에 12을(를) 곱합니다.

$$x=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=15,y=12$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 5,4의 최소 공통 배수인 20(으)로 곱합니다.

$$4x=5y$$

양쪽 모두에서 5y을(를) 뺍니다.

$$4x-5y=0$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 3을(를) 곱합니다.

$$y=x-3$$

양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=-3$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=15,y=12$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 5,4의 최소 공통 배수인 20(으)로 곱합니다.

$$4x=5y$$

양쪽 모두에서 5y을(를) 뺍니다.

$$4x-5y=0$$

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 3을(를) 곱합니다.

$$y=x-3$$

양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=-3$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

4x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

단순화합니다.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -4x+5y=0에서 -4x+4y=-12을(를) 뺍니다.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

-4x을(를) 4x에 추가합니다. -4x 및 4x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$5y-4y=12$$

5y을(를) -4y에 추가합니다.

$$y=12$$

-x+y=-3에서 y을(를) 12(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x+12=-3$$

수식의 양쪽에서 12을(를) 뺍니다.

$$-x=-15$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=15,y=12$$