다음을 풀어보세요: x^2-4x-1/(x^2+1)^2=0

$$\frac { x ^ { 2 } - 4 x - 1 } { ( x ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = 0$$

x에 대한 해

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4.236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0.236067977$$

근의 공식을 사용한 단계

수식의 양쪽 모두에 \left(x^{2}+1\right)^{2}을(를) 곱합니다.

$$x^{2}-4x-1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -4을(를) b로, -1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

-4을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4}}{2}$$

16을(를) 4에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{20}}{2}$$

20의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}}{2}$$

-4의 반대는 4입니다.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}을(를) 풉니다. 4을(를) 2\sqrt{5}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+4}{2}$$

4+2\sqrt{5}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=\sqrt{5}+2$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}을(를) 풉니다. 4에서 2\sqrt{5}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}$$

4-2\sqrt{5}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x=2-\sqrt{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$

제곱 완성 단계

수식의 양쪽 모두에 \left(x^{2}+1\right)^{2}을(를) 곱합니다.

$$x^{2}-4x-1=0$$

양쪽에 1을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$x^{2}-4x=1$$

x 항의 계수인 -4을(를) 2(으)로 나눠서 -2을(를) 구합니다. 그런 다음 -2의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

-2을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

1을(를) 4에 추가합니다.

$$x^{2}-4x+4=5$$

인수 x^{2}-4x+4. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

단순화합니다.

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$