다음을 풀어보세요: x^2/9-4/3x=-2

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 4 } { 3 } x = - 2$$

x에 대한 해

$$x=3\sqrt{2}+6\approx 10.242640687$$

$$x=6-3\sqrt{2}\approx 1.757359313$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

자신에서 -2을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=0$$

0에서 -2을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x+2=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 \frac{1}{9}을(를) a로, -\frac{4}{3}을(를) b로, 2을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{4}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

-4에 \frac{1}{9}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

-\frac{4}{9}에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16-8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{16}{9}을(를) -\frac{8}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

\frac{8}{9}의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

-\frac{4}{3}의 반대는 \frac{4}{3}입니다.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

2에 \frac{1}{9}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}을(를) 풉니다. \frac{4}{3}을(를) \frac{2\sqrt{2}}{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{\frac{2}{9}\times 3}$$

\frac{4+2\sqrt{2}}{3}에 \frac{2}{9}의 역수를 곱하여 \frac{4+2\sqrt{2}}{3}을(를) \frac{2}{9}(으)로 나눕니다.

$$x=3\sqrt{2}+6$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}을(를) 풉니다. \frac{4}{3}에서 \frac{2\sqrt{2}}{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{\frac{2}{9}\times 3}$$

\frac{4-2\sqrt{2}}{3}에 \frac{2}{9}의 역수를 곱하여 \frac{4-2\sqrt{2}}{3}을(를) \frac{2}{9}(으)로 나눕니다.

$$x=6-3\sqrt{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

양쪽에 9을(를) 곱합니다.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x}{\frac{1}{9}}=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

\frac{1}{9}(으)로 나누면 \frac{1}{9}(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{9}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

-\frac{4}{3}에 \frac{1}{9}의 역수를 곱하여 -\frac{4}{3}을(를) \frac{1}{9}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-12x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

-2에 \frac{1}{9}의 역수를 곱하여 -2을(를) \frac{1}{9}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-12x=-18$$

x 항의 계수인 -12을(를) 2(으)로 나눠서 -6을(를) 구합니다. 그런 다음 -6의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-18+\left(-6\right)^{2}$$

-6을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-12x+36=-18+36$$

-18을(를) 36에 추가합니다.

$$x^{2}-12x+36=18$$

인수 x^{2}-12x+36. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-6\right)^{2}=18$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

단순화합니다.

$$x-6=3\sqrt{2} x-6=-3\sqrt{2}$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$