다음을 풀어보세요: f/11=g/33,text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } , \text { siendo } f + g = 40$$

f, g에 대한 해

$$f=10$$

$$g=30$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 11,33의 최소 공통 배수인 33(으)로 곱합니다.

$$3f=g$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$f=\frac{1}{3}g$$

다른 수식 f+g=40에서 \frac{g}{3}을(를) f(으)로 치환합니다.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

\frac{g}{3}을(를) g에 추가합니다.

$$\frac{4}{3}g=40$$

수식의 양쪽을 \frac{4}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$g=30$$

f=\frac{1}{3}g에서 g을(를) 30(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 f에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

\frac{1}{3}에 30을(를) 곱합니다.

$$f=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$f=10,g=30$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 11,33의 최소 공통 배수인 33(으)로 곱합니다.

$$3f=g$$

양쪽 모두에서 g을(를) 뺍니다.

$$3f-g=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3f-g=0,f+g=40$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 f 및 g을(를) 추출합니다.

$$f=10,g=30$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 11,33의 최소 공통 배수인 33(으)로 곱합니다.

$$3f=g$$

양쪽 모두에서 g을(를) 뺍니다.

$$3f-g=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3f-g=0,f+g=40$$

3f 및 f을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

단순화합니다.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3f-g=0에서 3f+3g=120을(를) 뺍니다.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

3f을(를) -3f에 추가합니다. 3f 및 -3f이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-g-3g=-120$$

-g을(를) -3g에 추가합니다.

$$-4g=-120$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$g=30$$

f+g=40에서 g을(를) 30(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 f에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$f+30=40$$

수식의 양쪽에서 30을(를) 뺍니다.

$$f=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$f=10,g=30$$