다음을 풀어보세요: 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

x에 대한 해

$$x=-75$$

$$x=60$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x 변수는 값 -15,0 중 하나와 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 x,x+15,4의 최소 공통 배수인 4x\left(x+15\right)(으)로 곱합니다.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

분배 법칙을 사용하여 4x+60에 75(을)를 곱합니다.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4과(와) 75을(를) 곱하여 300(을)를 구합니다.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4과(와) \frac{1}{4}을(를) 곱하여 1(을)를 구합니다.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x에 x+15(을)를 곱합니다.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

300x과(와) 15x을(를) 결합하여 315x(을)를 구합니다.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

양쪽 모두에서 315x을(를) 뺍니다.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

300x과(와) -315x을(를) 결합하여 -15x(을)를 구합니다.

$$-15x+4500=x^{2}$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

다항식을 표준 형식으로 재정렬합니다. 항을 최고 곱에서 최저 곱의 순으로 배치합니다.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 -x^{2}+ax+bx+4500(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -4500을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

이 해답은 합계 -15이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=60 b=-75$$

-x^{2}-15x+4500을(를) \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

첫 번째 그룹 및 75에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 -x+60을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 -x+60=0을 해결 하 고, x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

근의 공식을 사용한 단계

0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x 변수는 값 -15,0 중 하나와 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 x,x+15,4의 최소 공통 배수인 4x\left(x+15\right)(으)로 곱합니다.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

분배 법칙을 사용하여 4x+60에 75(을)를 곱합니다.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4과(와) 75을(를) 곱하여 300(을)를 구합니다.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4과(와) \frac{1}{4}을(를) 곱하여 1(을)를 구합니다.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x에 x+15(을)를 곱합니다.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

300x과(와) 15x을(를) 결합하여 315x(을)를 구합니다.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

양쪽 모두에서 315x을(를) 뺍니다.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

300x과(와) -315x을(를) 결합하여 -15x(을)를 구합니다.

$$-15x+4500=x^{2}$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, -15을(를) b로, 4500을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

-15을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

4에 4500을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

225을(를) 18000에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

18225의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

-15의 반대는 15입니다.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{15±135}{-2}을(를) 풉니다. 15을(를) 135에 추가합니다.

$$x=\frac{150}{-2}$$

150을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=-75$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{15±135}{-2}을(를) 풉니다. 15에서 135을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

-120을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=60$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-75 x=60$$

제곱 완성 단계

0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x 변수는 값 -15,0 중 하나와 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 x,x+15,4의 최소 공통 배수인 4x\left(x+15\right)(으)로 곱합니다.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

분배 법칙을 사용하여 4x+60에 75(을)를 곱합니다.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4과(와) 75을(를) 곱하여 300(을)를 구합니다.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4과(와) \frac{1}{4}을(를) 곱하여 1(을)를 구합니다.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x에 x+15(을)를 곱합니다.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

300x과(와) 15x을(를) 결합하여 315x(을)를 구합니다.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

양쪽 모두에서 315x을(를) 뺍니다.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

300x과(와) -315x을(를) 결합하여 -15x(을)를 구합니다.

$$-15x+4500=x^{2}$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

양쪽 모두에서 4500을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

-15을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

-4500을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+15x=4500$$

x 항의 계수인 15을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{15}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{15}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{15}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

4500을(를) \frac{225}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

인수 x^{2}+15x+\frac{225}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{15}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=60 x=-75$$