다음을 풀어보세요: 57/16t^2-85/16t=-250

$$\frac { 57 } { 16 } t ^ { 2 } - \frac { 85 } { 16 } t = - 250$$

t에 대한 해

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114}\approx 0.745614035+8.343829954i$$

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}\approx 0.745614035-8.343829954i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t=-250$$

수식의 양쪽에 250을(를) 더합니다.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t-\left(-250\right)=-250-\left(-250\right)$$

자신에서 -250을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t-\left(-250\right)=0$$

0에서 -250을(를) 뺍니다.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t+250=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 \frac{57}{16}을(를) a로, -\frac{85}{16}을(를) b로, 250을(를) c로 치환합니다.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\left(-\frac{85}{16}\right)^{2}-4\times \frac{57}{16}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{85}{16}을(를) 제곱합니다.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-4\times \frac{57}{16}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

-4에 \frac{57}{16}을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-\frac{57}{4}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

-\frac{57}{4}에 250을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-\frac{7125}{2}}}{2\times \frac{57}{16}}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7225}{256}을(를) -\frac{7125}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{-\frac{904775}{256}}}{2\times \frac{57}{16}}$$

-\frac{904775}{256}의 제곱근을 구합니다.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{2\times \frac{57}{16}}$$

-\frac{85}{16}의 반대는 \frac{85}{16}입니다.

$$t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{2\times \frac{57}{16}}$$

2에 \frac{57}{16}을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}}을(를) 풉니다. \frac{85}{16}을(를) \frac{5i\sqrt{36191}}{16}에 추가합니다.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{\frac{57}{8}\times 16}$$

\frac{85+5i\sqrt{36191}}{16}에 \frac{57}{8}의 역수를 곱하여 \frac{85+5i\sqrt{36191}}{16}을(를) \frac{57}{8}(으)로 나눕니다.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}}을(를) 풉니다. \frac{85}{16}에서 \frac{5i\sqrt{36191}}{16}을(를) 뺍니다.

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{\frac{57}{8}\times 16}$$

\frac{85-5i\sqrt{36191}}{16}에 \frac{57}{8}의 역수를 곱하여 \frac{85-5i\sqrt{36191}}{16}을(를) \frac{57}{8}(으)로 나눕니다.

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114} t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t=-250$$

수식의 양쪽을 \frac{57}{16}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$\frac{\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t}{\frac{57}{16}}=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

\frac{57}{16}(으)로 나누면 \frac{57}{16}(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$t^{2}+\left(-\frac{\frac{85}{16}}{\frac{57}{16}}\right)t=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

-\frac{85}{16}에 \frac{57}{16}의 역수를 곱하여 -\frac{85}{16}을(를) \frac{57}{16}(으)로 나눕니다.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

-250에 \frac{57}{16}의 역수를 곱하여 -250을(를) \frac{57}{16}(으)로 나눕니다.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t=-\frac{4000}{57}$$

x 항의 계수인 -\frac{85}{57}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{85}{114}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{85}{114}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\left(-\frac{85}{114}\right)^{2}=-\frac{4000}{57}+\left(-\frac{85}{114}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{85}{114}을(를) 제곱합니다.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}=-\frac{4000}{57}+\frac{7225}{12996}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{4000}{57}을(를) \frac{7225}{12996}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}=-\frac{904775}{12996}$$

인수 t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(t-\frac{85}{114}\right)^{2}=-\frac{904775}{12996}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(t-\frac{85}{114}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{904775}{12996}}$$

단순화합니다.

$$t-\frac{85}{114}=\frac{5\sqrt{36191}i}{114} t-\frac{85}{114}=-\frac{5\sqrt{36191}i}{114}$$

수식의 양쪽에 \frac{85}{114}을(를) 더합니다.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114} t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$