다음을 풀어보세요: 13/4x^2-4x-5=0

$$\frac { 13 } { 4 } x ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{10}{13}\approx -0.769230769$$

$$x=2$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 \frac{13}{4}을(를) a로, -4을(를) b로, -5을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times \frac{13}{4}\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

-4을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times \frac{13}{4}\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

-4에 \frac{13}{4}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-13\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

-13에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+65}}{2\times \frac{13}{4}}$$

16을(를) 65에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{81}}{2\times \frac{13}{4}}$$

81의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±9}{2\times \frac{13}{4}}$$

-4의 반대는 4입니다.

$$x=\frac{4±9}{2\times \frac{13}{4}}$$

2에 \frac{13}{4}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}}을(를) 풉니다. 4을(를) 9에 추가합니다.

$$x=\frac{13}{\frac{13}{2}}$$

13에 \frac{13}{2}의 역수를 곱하여 13을(를) \frac{13}{2}(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}}을(를) 풉니다. 4에서 9을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{5}{\frac{13}{2}}$$

-5에 \frac{13}{2}의 역수를 곱하여 -5을(를) \frac{13}{2}(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{10}{13}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=2 x=-\frac{10}{13}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5=0$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

자신에서 -5을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x=-\left(-5\right)$$

0에서 -5을(를) 뺍니다.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x=5$$

수식의 양쪽을 \frac{13}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$\frac{\frac{13}{4}x^{2}-4x}{\frac{13}{4}}=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

\frac{13}{4}(으)로 나누면 \frac{13}{4}(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{\frac{13}{4}}\right)x=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

-4에 \frac{13}{4}의 역수를 곱하여 -4을(를) \frac{13}{4}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

5에 \frac{13}{4}의 역수를 곱하여 5을(를) \frac{13}{4}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x=\frac{20}{13}$$

x 항의 계수인 -\frac{16}{13}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{8}{13}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{8}{13}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\left(-\frac{8}{13}\right)^{2}=\frac{20}{13}+\left(-\frac{8}{13}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{8}{13}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}=\frac{20}{13}+\frac{64}{169}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{20}{13}을(를) \frac{64}{169}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}=\frac{324}{169}$$

인수 x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{8}{13}\right)^{2}=\frac{324}{169}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{324}{169}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{8}{13}=\frac{18}{13} x-\frac{8}{13}=-\frac{18}{13}$$

수식의 양쪽에 \frac{8}{13}을(를) 더합니다.

$$x=2 x=-\frac{10}{13}$$