다음을 풀어보세요: 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

근의 공식을 사용한 단계

0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x 변수는 값 -1,1 중 하나와 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 x+1,x-1,x^{2}-1의 최소 공통 배수인 \left(x-1\right)\left(x+1\right)(으)로 곱합니다.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

분배 법칙을 사용하여 x+1에 2(을)를 곱합니다.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

x과(와) 2x을(를) 결합하여 3x(을)를 구합니다.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

-1과(와) 2을(를) 더하여 1을(를) 구합니다.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

3x과(와) -2x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$x+1-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-x^{2}+x+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, 1을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

1을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

1을(를) 4에 추가합니다.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}을(를) 풉니다. -1을(를) \sqrt{5}에 추가합니다.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

-1+\sqrt{5}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}을(를) 풉니다. -1에서 \sqrt{5}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

-1-\sqrt{5}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

제곱 완성 단계

0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x 변수는 값 -1,1 중 하나와 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 x+1,x-1,x^{2}-1의 최소 공통 배수인 \left(x-1\right)\left(x+1\right)(으)로 곱합니다.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

분배 법칙을 사용하여 x+1에 2(을)를 곱합니다.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

x과(와) 2x을(를) 결합하여 3x(을)를 구합니다.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

-1과(와) 2을(를) 더하여 1을(를) 구합니다.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

3x과(와) -2x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$x+1-x^{2}=0$$

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$x-x^{2}=-1$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-x^{2}+x=-1$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

1을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

-1을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x=1$$

x 항의 계수인 -1을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

1을(를) \frac{1}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

인수 x^{2}-x+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$