다음을 풀어보세요: 1/3x^2+4/5x=1

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x = 1$$

x에 대한 해

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}\approx 0.907130751$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}\approx -3.307130751$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=1-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 \frac{1}{3}을(를) a로, \frac{4}{5}을(를) b로, -1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{4}{5}을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

-4에 \frac{1}{3}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-\frac{4}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

-\frac{4}{3}에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{3}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{16}{25}을(를) \frac{4}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{148}{75}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

\frac{148}{75}의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{2\times \frac{1}{3}}$$

2에 \frac{1}{3}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}을(를) 풉니다. -\frac{4}{5}을(를) \frac{2\sqrt{111}}{15}에 추가합니다.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

-\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15}에 \frac{2}{3}의 역수를 곱하여 -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15}을(를) \frac{2}{3}(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}을(를) 풉니다. -\frac{4}{5}에서 \frac{2\sqrt{111}}{15}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

-\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15}에 \frac{2}{3}의 역수를 곱하여 -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15}을(를) \frac{2}{3}(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

양쪽에 3을(를) 곱합니다.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

\frac{1}{3}(으)로 나누면 \frac{1}{3}(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

\frac{4}{5}에 \frac{1}{3}의 역수를 곱하여 \frac{4}{5}을(를) \frac{1}{3}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

1에 \frac{1}{3}의 역수를 곱하여 1을(를) \frac{1}{3}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=3$$

x 항의 계수인 \frac{12}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{6}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{6}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=3+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{6}{5}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=3+\frac{36}{25}$$

3을(를) \frac{36}{25}에 추가합니다.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{111}{25}$$

인수 x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{111}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{111}{25}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{111}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{111}}{5}$$

수식의 양쪽에서 \frac{6}{5}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$