다음을 풀어보세요: (x+3)(6-x)/1-4x^2=-1/4

$$\frac { ( x + 3 ) ( 6 - x ) } { 1 - 4 x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 4 }$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{155} + 3}{4} \approx 3.862474899$$

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}\approx -2.362474899$$

근의 공식을 사용한 단계

0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x 변수는 값 -\frac{1}{2},\frac{1}{2} 중 하나와 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 1-4x^{2},4의 최소 공통 배수인 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)(으)로 곱합니다.

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -4에 x+3(을)를 곱합니다.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -4x-12에 6-x(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -1에 2x-1(을)를 곱합니다.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -2x+1에 2x+1(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

양쪽에 4x^{2}을(를) 더합니다.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

4x^{2}과(와) 4x^{2}을(를) 결합하여 8x^{2}(을)를 구합니다.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다.

$$-12x+8x^{2}-72-1=0$$

-72에서 1을(를) 빼고 -73을(를) 구합니다.

$$-12x+8x^{2}-73=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$8x^{2}-12x-73=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 8을(를) a로, -12을(를) b로, -73을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

-12을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

-4에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

-32에 -73을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+2336}}{2\times 8}$$

144을(를) 2336에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{2480}}{2\times 8}$$

2480의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

-12의 반대는 12입니다.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

2에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}을(를) 풉니다. 12을(를) 4\sqrt{155}에 추가합니다.

$$x=\frac{4\sqrt{155}+12}{16}$$

12+4\sqrt{155}을(를) 16(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}을(를) 풉니다. 12에서 4\sqrt{155}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{12-4\sqrt{155}}{16}$$

12-4\sqrt{155}을(를) 16(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

제곱 완성 단계

0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x 변수는 값 -\frac{1}{2},\frac{1}{2} 중 하나와 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 1-4x^{2},4의 최소 공통 배수인 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)(으)로 곱합니다.

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -4에 x+3(을)를 곱합니다.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -4x-12에 6-x(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -1에 2x-1(을)를 곱합니다.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -2x+1에 2x+1(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

양쪽에 4x^{2}을(를) 더합니다.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

4x^{2}과(와) 4x^{2}을(를) 결합하여 8x^{2}(을)를 구합니다.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

양쪽에 72을(를) 더합니다.

$$-12x+8x^{2}=1+72$$

1과(와) 72을(를) 더하여 73을(를) 구합니다.

$$-12x+8x^{2}=73$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$8x^{2}-12x=73$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{73}{8}$$

8(으)로 나누면 8(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{73}{8}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-12}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{73}{8}$$

x 항의 계수인 -\frac{3}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{3}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{3}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{73}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{3}{4}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{73}{8}+\frac{9}{16}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{73}{8}을(를) \frac{9}{16}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{155}{16}$$

x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{155}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{155}{16}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{155}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{155}}{4}$$

수식의 양쪽에 \frac{3}{4}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$