y-3x=2text{and}7x-2y=8 шешу

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=12$$

$$y=38$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y-3x=2$$

Теңдеудің екі жағына да 3x санын қосыңыз.

$$y=3x+2$$

Басқа теңдеуде 3x+2 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

-2 санын 3x+2 санына көбейтіңіз.

$$-6x-4+7x=8$$

-6x санын 7x санына қосу.

$$x-4=8$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$x=12$$

y=3x+2 теңдеуінде 12 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=3\times 12+2$$

3 санын 12 санына көбейтіңіз.

$$y=36+2$$

2 санын 36 санына қосу.

$$y=38$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=38,x=12$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=38,x=12$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

y және -2y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Қысқартыңыз.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2y+7x=8 мәнін -2y+6x=-4 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

-2y санын 2y санына қосу. -2y және 2y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6x-7x=-4-8$$

6x санын -7x санына қосу.

$$-x=-4-8$$

-4 санын -8 санына қосу.

$$-x=-12$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=12$$

-2y+7x=8 теңдеуінде 12 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2y+7\times 12=8$$

7 санын 12 санына көбейтіңіз.

$$-2y+84=8$$

Теңдеудің екі жағынан 84 санын алып тастаңыз.

$$-2y=-76$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=38$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=38,x=12$$