{8x+2y=46}{7x+3y=47} шешу

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$8x+2y=46$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$8x=-2y+46$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

\frac{1}{8} санын -2y+46 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+23}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

7 санын \frac{-y+23}{4} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

-\frac{7y}{4} санын 3y санына қосу.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{161}{4} санын алып тастаңыз.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{27}{5}$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4} теңдеуінде \frac{27}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{27}{5} санын -\frac{1}{4} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{23}{4} бөлшегіне -\frac{27}{20} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{22}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

8x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына көбейтіңіз.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Қысқартыңыз.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 56x+24y=376 мәнін 56x+14y=322 мәнінен алып тастаңыз.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

56x санын -56x санына қосу. 56x және -56x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$14y-24y=322-376$$

14y санын -24y санына қосу.

$$-10y=322-376$$

322 санын -376 санына қосу.

$$-10y=-54$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$y=\frac{27}{5}$$

7x+3y=47 теңдеуінде \frac{27}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

3 санын \frac{27}{5} санына көбейтіңіз.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{81}{5} санын алып тастаңыз.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{22}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$