x^2-3x-108=0 шешу

$$x ^ { 2 } - 3 x - 108 = 0$$

x мәнін табыңыз

$$x=-9$$

$$x=12$$

Көбейткіштерге жіктеу әдісін пайдалану қадамдары

Теңдеуді шешу үшін x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) формуласын қолданып, x^{2}-3x-108 мәнін көбейткіштерге жіктеңіз. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=-3 ab=-108$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні теріс болғандықтан, теріс санның абсолютті мәні оң санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -108 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Шешім — бұл -3 қосындысын беретін жұп.

$$a=-12 b=9$$

Алынған мәндерді пайдаланып, көбейткішке жіктелген \left(x+a\right)\left(x+b\right) өрнегін қайта жазыңыз.

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, x-12=0 және x+9=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=12 x=-9$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы x^{2}+ax+bx-108 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=-3 ab=1\left(-108\right)=-108$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні теріс болғандықтан, теріс санның абсолютті мәні оң санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -108 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Шешім — бұл -3 қосындысын беретін жұп.

$$a=-12 b=9$$

x^{2}-3x-108 мәнін \left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right)$$

Бірінші топтағы x ортақ көбейткішін және екінші топтағы 9 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$x\left(x-12\right)+9\left(x-12\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы x-12 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, x-12=0 және x+9=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=12 x=-9$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$x^{2}-3x-108=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 1 санын a мәніне, -3 санын b мәніне және -108 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-108\right)}}{2}$$

-3 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-108\right)}}{2}$$

-4 санын -108 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+432}}{2}$$

9 санын 432 санына қосу.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{441}}{2}$$

441 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±21}{2}$$

-3 санына қарама-қарсы сан 3 мәніне тең.

$$x=\frac{3±21}{2}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{3±21}{2} теңдеуін шешіңіз. 3 санын 21 санына қосу.

$$x=\frac{24}{2}$$

24 санын 2 санына бөліңіз.

$$x=12$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{3±21}{2} теңдеуін шешіңіз. 21 мәнінен 3 мәнін алу.

$$x=-\frac{18}{2}$$

-18 санын 2 санына бөліңіз.

$$x=-9$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=12 x=-9$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$x^{2}-3x-108=0$$

Теңдеудің екі жағына да 108 санын қосыңыз.

$$x^{2}-3x-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

-108 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$x^{2}-3x=-\left(-108\right)$$

-108 мәнінен 0 мәнін алу.

$$x^{2}-3x=108$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын -3 санын 2 мәніне бөлсеңіз, -\frac{3}{2} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына -\frac{3}{2} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=108+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы -\frac{3}{2} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=108+\frac{9}{4}$$

108 санын \frac{9}{4} санына қосу.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{441}{4}$$

x^{2}-3x+\frac{9}{4} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{441}{4}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{4}}$$

Қысқартыңыз.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{21}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{21}{2}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{3}{2} санын қосыңыз.

$$x=12 x=-9$$