x^2-2x-1leq0 шешу

$$x ^ { 2 } - 2 x - 1 \leq 0$$

x теңдеуін шешу

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Теңсіздікті шешу үшін, сол жағын көбейткіштерге жіктеңіз. Квадраттық көпмүшені мына түрлендіру арқылы көбейткіштерге жіктеуге болады: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), мұнда x_{1} және x_{2} — ax^{2}+bx+c=0 квадрат теңдеуінің шешімдері.

$$x^{2}-2x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 үлгісіндегі барлық теңдеулерді квадраттық формула арқылы шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формуладағы 1 мәнін a мәніне, -2 мәнін b мәніне және -1 мәнін c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Есептеңіз.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

± мәні плюс, ал ± мәні минус болған кездегі "x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}" теңдеуін шешіңіз.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

Теңсіздікті алынған шешімдер арқылы қайта жазыңыз.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right)\leq 0$$

≤0 болатын көбейтінді үшін x-\left(\sqrt{2}+1\right) және x-\left(1-\sqrt{2}\right) мәндерінің бірі ≥0 болуы керек және екіншісі ≤0 болуы керек. x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 және x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0 мәндері болған жағдайды қарастырыңыз.

$$x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Бұл – кез келген x үшін жалған мән.

$$x\in \emptyset$$

x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0 және x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 мәндері болған жағдайды қарастырыңыз.

$$x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0$$

Екі теңсіздікті де шешетін мән — x\in \left[1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Соңғы шешім — алынған шешімдерді біріктіру.

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$