x^2+7x-78=42 шешу

$$x ^ { 2 } + 7 x - 78 = 42$$

x мәнін табыңыз

$$x=-15$$

$$x=8$$

Көбейткіштерге жіктеу әдісін пайдалану қадамдары

Екі жағынан да 42 мәнін қысқартыңыз.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

-120 мәнін алу үшін, -78 мәнінен 42 мәнін алып тастаңыз.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Теңдеуді шешу үшін x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) формуласын қолданып, x^{2}+7x-120 мәнін көбейткіштерге жіктеңіз. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=7 ab=-120$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні оң болғандықтан, оң санның абсолютті мәні теріс санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -120 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Шешім — бұл 7 қосындысын беретін жұп.

$$a=-8 b=15$$

Алынған мәндерді пайдаланып, көбейткішке жіктелген \left(x+a\right)\left(x+b\right) өрнегін қайта жазыңыз.

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, x-8=0 және x+15=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=8 x=-15$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Екі жағынан да 42 мәнін қысқартыңыз.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

-120 мәнін алу үшін, -78 мәнінен 42 мәнін алып тастаңыз.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы x^{2}+ax+bx-120 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=7 ab=1\left(-120\right)=-120$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні оң болғандықтан, оң санның абсолютті мәні теріс санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -120 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Шешім — бұл 7 қосындысын беретін жұп.

$$a=-8 b=15$$

x^{2}+7x-120 мәнін \left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right)$$

Бірінші топтағы x ортақ көбейткішін және екінші топтағы 15 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$x\left(x-8\right)+15\left(x-8\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы x-8 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, x-8=0 және x+15=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=8 x=-15$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$x^{2}+7x-78=42$$

Теңдеудің екі жағынан 42 санын алып тастаңыз.

$$x^{2}+7x-78-42=42-42$$

42 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

42 мәнінен -78 мәнін алу.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 1 санын a мәніне, 7 санын b мәніне және -120 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-120\right)}}{2}$$

7 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-120\right)}}{2}$$

-4 санын -120 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2}$$

49 санын 480 санына қосу.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2}$$

529 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-7±23}{2}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{-7±23}{2} теңдеуін шешіңіз. -7 санын 23 санына қосу.

$$x=\frac{16}{2}$$

16 санын 2 санына бөліңіз.

$$x=8$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{-7±23}{2} теңдеуін шешіңіз. 23 мәнінен -7 мәнін алу.

$$x=-\frac{30}{2}$$

-30 санын 2 санына бөліңіз.

$$x=-15$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=8 x=-15$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$x^{2}+7x-78=42$$

Теңдеудің екі жағына да 78 санын қосыңыз.

$$x^{2}+7x-78-\left(-78\right)=42-\left(-78\right)$$

-78 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$x^{2}+7x=42-\left(-78\right)$$

-78 мәнінен 42 мәнін алу.

$$x^{2}+7x=120$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын 7 санын 2 мәніне бөлсеңіз, \frac{7}{2} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына \frac{7}{2} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=120+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы \frac{7}{2} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=120+\frac{49}{4}$$

120 санын \frac{49}{4} санына қосу.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{529}{4}$$

x^{2}+7x+\frac{49}{4} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

Қысқартыңыз.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{23}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{23}{2}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{7}{2} санын алып тастаңыз.

$$x=8 x=-15$$