x+y=5text{247}2x-3y=4 шешу

$$x + y = 5 \text { 247 } 2 x - 3 y = 4$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{19}{5} = 3\frac{4}{5} = 3.8$$

$$y = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=5,2x-3y=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=5$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+5$$

Басқа теңдеуде -y+5 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-3y=4.

$$2\left(-y+5\right)-3y=4$$

2 санын -y+5 санына көбейтіңіз.

$$-2y+10-3y=4$$

-2y санын -3y санына қосу.

$$-5y+10=4$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$-5y=-6$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=\frac{6}{5}$$

x=-y+5 теңдеуінде \frac{6}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{6}{5}+5$$

5 санын -\frac{6}{5} санына қосу.

$$x=\frac{19}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{19}{5},y=\frac{6}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=5,2x-3y=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{1}{-3-2}\\-\frac{2}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 4\\\frac{2}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{5}\\\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{19}{5},y=\frac{6}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=5,2x-3y=4$$

x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$2x+2y=2\times 5,2x-3y=4$$

Қысқартыңыз.

$$2x+2y=10,2x-3y=4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x-3y=4 мәнін 2x+2y=10 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+2y+3y=10-4$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2y+3y=10-4$$

2y санын 3y санына қосу.

$$5y=10-4$$

10 санын -4 санына қосу.

$$5y=6$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=\frac{6}{5}$$

2x-3y=4 теңдеуінде \frac{6}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-3\times \frac{6}{5}=4$$

-3 санын \frac{6}{5} санына көбейтіңіз.

$$2x-\frac{18}{5}=4$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{18}{5} санын қосыңыз.

$$2x=\frac{38}{5}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{19}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{19}{5},y=\frac{6}{5}$$