n^2-11n-60=0 шешу

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

n мәнін табыңыз

$$n=-4$$

$$n=15$$

Көбейткіштерге жіктеу әдісін пайдалану қадамдары

Теңдеуді шешу үшін n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) формуласын қолданып, n^{2}-11n-60 мәнін көбейткіштерге жіктеңіз. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=-11 ab=-60$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні теріс болғандықтан, теріс санның абсолютті мәні оң санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -60 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Шешім — бұл -11 қосындысын беретін жұп.

$$a=-15 b=4$$

Алынған мәндерді пайдаланып, көбейткішке жіктелген \left(n+a\right)\left(n+b\right) өрнегін қайта жазыңыз.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, n-15=0 және n+4=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$n=15 n=-4$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы n^{2}+an+bn-60 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні теріс болғандықтан, теріс санның абсолютті мәні оң санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -60 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Шешім — бұл -11 қосындысын беретін жұп.

$$a=-15 b=4$$

n^{2}-11n-60 мәнін \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Бірінші топтағы n ортақ көбейткішін және екінші топтағы 4 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы n-15 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, n-15=0 және n+4=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$n=15 n=-4$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 1 санын a мәніне, -11 санын b мәніне және -60 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

-11 санының квадратын шығарыңыз.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

-4 санын -60 санына көбейтіңіз.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

121 санын 240 санына қосу.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

361 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11 санына қарама-қарсы сан 11 мәніне тең.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Енді ± плюс болған кездегі n=\frac{11±19}{2} теңдеуін шешіңіз. 11 санын 19 санына қосу.

$$n=\frac{30}{2}$$

30 санын 2 санына бөліңіз.

$$n=15$$

Енді ± минус болған кездегі n=\frac{11±19}{2} теңдеуін шешіңіз. 19 мәнінен 11 мәнін алу.

$$n=-\frac{8}{2}$$

-8 санын 2 санына бөліңіз.

$$n=-4$$

Теңдеу енді шешілді.

$$n=15 n=-4$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Теңдеудің екі жағына да 60 санын қосыңыз.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

-60 мәнінен 0 мәнін алу.

$$n^{2}-11n=60$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын -11 санын 2 мәніне бөлсеңіз, -\frac{11}{2} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына -\frac{11}{2} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы -\frac{11}{2} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

60 санын \frac{121}{4} санына қосу.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

n^{2}-11n+\frac{121}{4} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Қысқартыңыз.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{11}{2} санын қосыңыз.

$$n=15 n=-4$$