f(x)=siny шешу

$$f ( x ) = \sin y$$

y қатысты айыру

$$\cos(y)$$

Туынды тұжырымдамасын пайдалану қадамдары

f\left(x\right) функциясы үшін, туынды – \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} мәнінің шегі, себебі шегі бар болған жағдайда h мәні 0 мәніне тең болады.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\sin(y))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}\right)$$

Синусқа арналған қосынды формуласын пайдаланыңыз.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}$$

\sin(y) ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(y)\sin(h)}{h}$$

Шегін қайта белгілеңіз.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

h түріндегі есептеу шектері 0 болғанда y мәнінің тұрақтылығын пайдаланыңыз.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

\lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} шегі 1.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)$$

\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} шегін есептеу үшін, алдымен алымы мен бөлімін \cos(h)+1 мәніне көбейтіңіз.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

\cos(h)+1 санын \cos(h)-1 санына көбейтіңіз.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Пифагор формуласын пайдаланыңыз.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Шегін қайта белгілеңіз.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

\lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} шегі 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} мәнінің 0 мәнінде үздіксіз болатыны туралы дәлелді пайдаланыңыз.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

0 мәнін \sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y) өрнегіне ауыстырыңыз.

$$\cos(y)$$

Есептеу

$$\sin(y)$$