7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3 шешу

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1.689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0.655172414$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x-15y-2=0$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$7x-15y=2$$

Теңдеудің екі жағына да 15y санын қосыңыз.

$$7x=15y+2$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

\frac{1}{7} санын 15y+2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{15y+2}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

\frac{15y}{7} санын 2y санына қосу.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2}{7} санын алып тастаңыз.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{29}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{19}{29}$$

x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7} теңдеуінде \frac{19}{29} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{19}{29} санын \frac{15}{7} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2}{7} бөлшегіне \frac{285}{203} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{49}{29}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

7x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Қысқартыңыз.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 7x+14y=21 мәнін 7x-15y-2=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

7x санын -7x санына қосу. 7x және -7x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-15y-14y-2=-21$$

-15y санын -14y санына қосу.

$$-29y-2=-21$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$-29y=-19$$

Екі жағын да -29 санына бөліңіз.

$$y=\frac{19}{29}$$

x+2y=3 теңдеуінде \frac{19}{29} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

2 санын \frac{19}{29} санына көбейтіңіз.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{38}{29} санын алып тастаңыз.

$$x=\frac{49}{29}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$