6x-9y=-1,-2x+y=1 шешу

$$6 x - 9 y = - 1 , - 2 x + y = 1$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$6x-9y=-1$$

Теңдеудің екі жағына да 9y санын қосыңыз.

$$6x=9y-1$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{6}\left(9y-1\right)$$

\frac{1}{6} санын 9y-1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y}{2}-\frac{1}{6} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x+y=1.

$$-2\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}\right)+y=1$$

-2 санын \frac{3y}{2}-\frac{1}{6} санына көбейтіңіз.

$$-3y+\frac{1}{3}+y=1$$

-3y санын y санына қосу.

$$-2y+\frac{1}{3}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1}{3} санын алып тастаңыз.

$$-2y=\frac{2}{3}$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{3}$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{6} теңдеуінде -\frac{1}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{1}{3} санын \frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{1}{6} бөлшегіне -\frac{1}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}&-\frac{-9}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-1\right)-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

6x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$-2\times 6x-2\left(-9\right)y=-2\left(-1\right),6\left(-2\right)x+6y=6$$

Қысқартыңыз.

$$-12x+18y=2,-12x+6y=6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -12x+6y=6 мәнін -12x+18y=2 мәнінен алып тастаңыз.

$$-12x+12x+18y-6y=2-6$$

-12x санын 12x санына қосу. -12x және 12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$18y-6y=2-6$$

18y санын -6y санына қосу.

$$12y=2-6$$

2 санын -6 санына қосу.

$$12y=-4$$

Екі жағын да 12 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{3}$$

-2x+y=1 теңдеуінде -\frac{1}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x-\frac{1}{3}=1$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{1}{3} санын қосыңыз.

$$-2x=\frac{4}{3}$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$