42x^2-5x-3=0 шешу

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

x мәнін табыңыз

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы 42x^{2}+ax+bx-3 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні теріс болғандықтан, теріс санның абсолютті мәні оң санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -126 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Шешім — бұл -5 қосындысын беретін жұп.

$$a=-14 b=9$$

42x^{2}-5x-3 мәнін \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Бірінші топтағы 14x ортақ көбейткішін және екінші топтағы 3 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы 3x-1 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, 3x-1=0 және 14x+3=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 42 санын a мәніне, -5 санын b мәніне және -3 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-5 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-4 санын 42 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-168 санын -3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

25 санын 504 санына қосу.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

529 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

-5 санына қарама-қарсы сан 5 мәніне тең.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

2 санын 42 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{5±23}{84} теңдеуін шешіңіз. 5 санын 23 санына қосу.

$$x=\frac{28}{84}$$

28 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{28}{84} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x=\frac{1}{3}$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{5±23}{84} теңдеуін шешіңіз. 23 мәнінен 5 мәнін алу.

$$x=-\frac{18}{84}$$

6 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{-18}{84} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

-3 мәнінен 0 мәнін алу.

$$42x^{2}-5x=3$$

Екі жағын да 42 санына бөліңіз.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

42 санына бөлген кезде 42 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

3 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{3}{42} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын -\frac{5}{42} санын 2 мәніне бөлсеңіз, -\frac{5}{84} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына -\frac{5}{84} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы -\frac{5}{84} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{14} бөлшегіне \frac{25}{7056} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Қысқартыңыз.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{5}{84} санын қосыңыз.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$