4x-y=5text{and}5y-4x=7 шешу

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x-y=5$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$4x=y+5$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{4} санын y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{5+y}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

-4 санын \frac{5+y}{4} санына көбейтіңіз.

$$-y-5+5y=7$$

-y санын 5y санына қосу.

$$4y-5=7$$

Теңдеудің екі жағына да 5 санын қосыңыз.

$$4y=12$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$y=3$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4} теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

\frac{1}{4} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{4} бөлшегіне \frac{3}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

4x және -4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -16x+20y=28 мәнін -16x+4y=-20 мәнінен алып тастаңыз.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

-16x санын 16x санына қосу. -16x және 16x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y-20y=-20-28$$

4y санын -20y санына қосу.

$$-16y=-20-28$$

-20 санын -28 санына қосу.

$$-16y=-48$$

Екі жағын да -16 санына бөліңіз.

$$y=3$$

-4x+5y=7 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-4x+5\times 3=7$$

5 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$-4x+15=7$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$-4x=-8$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=3$$