4x^2-5x+1=0 шешу

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

x мәнін табыңыз

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=1$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы 4x^{2}+ax+bx+1 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

ab оң болғандықтан, a және b белгілері бірдей болады. a+b теріс болғандықтан, a және b мәндері теріс болады. Көбейтіндісі 4 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$-1,-4 -2,-2$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Шешім — бұл -5 қосындысын беретін жұп.

$$a=-4 b=-1$$

4x^{2}-5x+1 мәнін \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

Бірінші топтағы 4x ортақ көбейткішін және екінші топтағы -1 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы x-1 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, x-1=0 және 4x-1=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 4 санын a мәніне, -5 санын b мәніне және 1 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

-5 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

25 санын -16 санына қосу.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

9 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

-5 санына қарама-қарсы сан 5 мәніне тең.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

2 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{5±3}{8} теңдеуін шешіңіз. 5 санын 3 санына қосу.

$$x=\frac{8}{8}$$

8 санын 8 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{5±3}{8} теңдеуін шешіңіз. 3 мәнінен 5 мәнін алу.

$$x=\frac{2}{8}$$

2 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{2}{8} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x=\frac{1}{4}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Теңдеудің екі жағынан 1 санын алып тастаңыз.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

1 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4 санына бөлген кезде 4 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын -\frac{5}{4} санын 2 мәніне бөлсеңіз, -\frac{5}{8} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына -\frac{5}{8} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы -\frac{5}{8} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{1}{4} бөлшегіне \frac{25}{64} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Қысқартыңыз.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{5}{8} санын қосыңыз.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$