4x^2-11x+30=16 шешу

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

x мәнін табыңыз (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Теңдеудің екі жағынан 16 санын алып тастаңыз.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

16 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

16 мәнінен 30 мәнін алу.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 4 санын a мәніне, -11 санын b мәніне және 14 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

-11 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

-4 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

-16 санын 14 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

121 санын -224 санына қосу.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

-103 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

-11 санына қарама-қарсы сан 11 мәніне тең.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

2 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} теңдеуін шешіңіз. 11 санын i\sqrt{103} санына қосу.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} теңдеуін шешіңіз. i\sqrt{103} мәнінен 11 мәнін алу.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Теңдеудің екі жағынан 30 санын алып тастаңыз.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

30 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

30 мәнінен 16 мәнін алу.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

4 санына бөлген кезде 4 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

2 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{-14}{4} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын -\frac{11}{4} санын 2 мәніне бөлсеңіз, -\frac{11}{8} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына -\frac{11}{8} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы -\frac{11}{8} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{7}{2} бөлшегіне \frac{121}{64} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Қысқартыңыз.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{11}{8} санын қосыңыз.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$