4x^2+48x-81=0 шешу

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

x мәнін табыңыз

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы 4x^{2}+ax+bx-81 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні оң болғандықтан, оң санның абсолютті мәні теріс санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -324 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Шешім — бұл 48 қосындысын беретін жұп.

$$a=-6 b=54$$

4x^{2}+48x-81 мәнін \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Бірінші топтағы 2x ортақ көбейткішін және екінші топтағы 27 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы 2x-3 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, 2x-3=0 және 2x+27=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 4 санын a мәніне, 48 санын b мәніне және -81 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

48 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

-4 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

-16 санын -81 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

2304 санын 1296 санына қосу.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

3600 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

2 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{-48±60}{8} теңдеуін шешіңіз. -48 санын 60 санына қосу.

$$x=\frac{12}{8}$$

4 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{12}{8} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x=\frac{3}{2}$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{-48±60}{8} теңдеуін шешіңіз. 60 мәнінен -48 мәнін алу.

$$x=-\frac{108}{8}$$

4 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{-108}{8} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Теңдеудің екі жағына да 81 санын қосыңыз.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

-81 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

-81 мәнінен 0 мәнін алу.

$$4x^{2}+48x=81$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

4 санына бөлген кезде 4 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

48 санын 4 санына бөліңіз.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын 12 санын 2 мәніне бөлсеңіз, 6 саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына 6 квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

6 санының квадратын шығарыңыз.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

\frac{81}{4} санын 36 санына қосу.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

x^{2}+12x+36 көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Қысқартыңыз.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$