4x^2+4x+9=0 шешу

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

x мәнін табыңыз (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0.5+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.414213562i$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 4 санын a мәніне, 4 санын b мәніне және 9 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

4 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

-4 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

-16 санын 9 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

16 санын -144 санына қосу.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

-128 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

2 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} теңдеуін шешіңіз. -4 санын 8i\sqrt{2} санына қосу.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

-4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} санын 8 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} теңдеуін шешіңіз. 8i\sqrt{2} мәнінен -4 мәнін алу.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

-4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} санын 8 санына бөліңіз.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Теңдеудің екі жағынан 9 санын алып тастаңыз.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

9 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

4 санына бөлген кезде 4 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

4 санын 4 санына бөліңіз.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын 1 санын 2 мәніне бөлсеңіз, \frac{1}{2} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына \frac{1}{2} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы \frac{1}{2} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{9}{4} бөлшегіне \frac{1}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

x^{2}+x+\frac{1}{4} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Қысқартыңыз.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1}{2} санын алып тастаңыз.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$