4n^2-7n=11 шешу

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

n мәнін табыңыз

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Екі жағынан да 11 мәнін қысқартыңыз.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы 4n^{2}+an+bn-11 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні теріс болғандықтан, теріс санның абсолютті мәні оң санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -44 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Шешім — бұл -7 қосындысын беретін жұп.

$$a=-11 b=4$$

4n^{2}-7n-11 мәнін \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

4n^{2}-11n өрнегіндегі n ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Үлестіру сипаты арқылы 4n-11 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, 4n-11=0 және n+1=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$4n^{2}-7n=11$$

Теңдеудің екі жағынан 11 санын алып тастаңыз.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

11 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 4 санын a мәніне, -7 санын b мәніне және -11 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-7 санының квадратын шығарыңыз.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-4 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-16 санын -11 санына көбейтіңіз.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

49 санын 176 санына қосу.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

225 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7 санына қарама-қарсы сан 7 мәніне тең.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

2 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Енді ± плюс болған кездегі n=\frac{7±15}{8} теңдеуін шешіңіз. 7 санын 15 санына қосу.

$$n=\frac{22}{8}$$

2 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{22}{8} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$n=\frac{11}{4}$$

Енді ± минус болған кездегі n=\frac{7±15}{8} теңдеуін шешіңіз. 15 мәнінен 7 мәнін алу.

$$n=-\frac{8}{8}$$

-8 санын 8 санына бөліңіз.

$$n=-1$$

Теңдеу енді шешілді.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$4n^{2}-7n=11$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

4 санына бөлген кезде 4 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын -\frac{7}{4} санын 2 мәніне бөлсеңіз, -\frac{7}{8} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына -\frac{7}{8} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы -\frac{7}{8} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{11}{4} бөлшегіне \frac{49}{64} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Қысқартыңыз.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{7}{8} санын қосыңыз.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$