4x^2-3x-1=0 шешу

$$4 { x }^{ 2 } -3x-1 = 0$$

x мәнін табыңыз

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$x=1$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы 4x^{2}+ax+bx-1 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=-3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні теріс болғандықтан, теріс санның абсолютті мәні оң санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -4 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$1,-4 2,-2$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Шешім — бұл -3 қосындысын беретін жұп.

$$a=-4 b=1$$

4x^{2}-3x-1 мәнін \left(4x^{2}-4x\right)+\left(x-1\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(x-1\right)$$

4x^{2}-4x өрнегіндегі 4x ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$4x\left(x-1\right)+x-1$$

Үлестіру сипаты арқылы x-1 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(x-1\right)\left(4x+1\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, x-1=0 және 4x+1=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=1 x=-\frac{1}{4}$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$4x^{2}-3x-1=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 4 санын a мәніне, -3 санын b мәніне және -1 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-3 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-4 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-16 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

9 санын 16 санына қосу.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

25 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\times 4}$$

-3 санына қарама-қарсы сан 3 мәніне тең.

$$x=\frac{3±5}{2\times 4}$$

2 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3±5}{8}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{3±5}{8} теңдеуін шешіңіз. 3 санын 5 санына қосу.

$$x=\frac{8}{8}$$

8 санын 8 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{3±5}{8} теңдеуін шешіңіз. 5 мәнінен 3 мәнін алу.

$$x=-\frac{2}{8}$$

2 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{-2}{8} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=1 x=-\frac{1}{4}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$4x^{2}-3x-1=0$$

Теңдеудің екі жағына да 1 санын қосыңыз.

$$4x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$4x^{2}-3x=-\left(-1\right)$$

-1 мәнінен 0 мәнін алу.

$$4x^{2}-3x=1$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$\frac{4x^{2}-3x}{4}=\frac{1}{4}$$

4 санына бөлген кезде 4 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын -\frac{3}{4} санын 2 мәніне бөлсеңіз, -\frac{3}{8} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына -\frac{3}{8} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы -\frac{3}{8} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{4} бөлшегіне \frac{9}{64} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Қысқартыңыз.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{5}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{3}{8} санын қосыңыз.

$$x=1 x=-\frac{1}{4}$$