4x^2+x-5=0 шешу

$$4 { x }^{ 2 } +x-5=0$$

x мәнін табыңыз

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$x=1$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы 4x^{2}+ax+bx-5 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні оң болғандықтан, оң санның абсолютті мәні теріс санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -20 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Шешім — бұл 1 қосындысын беретін жұп.

$$a=-4 b=5$$

4x^{2}+x-5 мәнін \left(4x^{2}-4x\right)+\left(5x-5\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(5x-5\right)$$

Бірінші топтағы 4x ортақ көбейткішін және екінші топтағы 5 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$4x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы x-1 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(x-1\right)\left(4x+5\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, x-1=0 және 4x+5=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=1 x=-\frac{5}{4}$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$4x^{2}+x-5=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 4 санын a мәніне, 1 санын b мәніне және -5 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

1 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

-4 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

-16 санын -5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

1 санын 80 санына қосу.

$$x=\frac{-1±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

81 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-1±9}{2\times 4}$$

2 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-1±9}{8}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{-1±9}{8} теңдеуін шешіңіз. -1 санын 9 санына қосу.

$$x=\frac{8}{8}$$

8 санын 8 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{-1±9}{8} теңдеуін шешіңіз. 9 мәнінен -1 мәнін алу.

$$x=-\frac{10}{8}$$

2 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{-10}{8} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=1 x=-\frac{5}{4}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$4x^{2}+x-5=0$$

Теңдеудің екі жағына да 5 санын қосыңыз.

$$4x^{2}+x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$4x^{2}+x=-\left(-5\right)$$

-5 мәнінен 0 мәнін алу.

$$4x^{2}+x=5$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$\frac{4x^{2}+x}{4}=\frac{5}{4}$$

4 санына бөлген кезде 4 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын \frac{1}{4} санын 2 мәніне бөлсеңіз, \frac{1}{8} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына \frac{1}{8} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы \frac{1}{8} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{4} бөлшегіне \frac{1}{64} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Қысқартыңыз.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1}{8} санын алып тастаңыз.

$$x=1 x=-\frac{5}{4}$$