4x^2+21x-49=0 шешу

$$4 { x }^{ 2 } +21x-49=0$$

x мәнін табыңыз

$$x=-7$$

$$x = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы 4x^{2}+ax+bx-49 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=21 ab=4\left(-49\right)=-196$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні оң болғандықтан, оң санның абсолютті мәні теріс санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -196 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$-1,196 -2,98 -4,49 -7,28 -14,14$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$-1+196=195 -2+98=96 -4+49=45 -7+28=21 -14+14=0$$

Шешім — бұл 21 қосындысын беретін жұп.

$$a=-7 b=28$$

4x^{2}+21x-49 мәнін \left(4x^{2}-7x\right)+\left(28x-49\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(4x^{2}-7x\right)+\left(28x-49\right)$$

Бірінші топтағы x ортақ көбейткішін және екінші топтағы 7 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$x\left(4x-7\right)+7\left(4x-7\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы 4x-7 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(4x-7\right)\left(x+7\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, 4x-7=0 және x+7=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=\frac{7}{4} x=-7$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$4x^{2}+21x-49=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 4 санын a мәніне, 21 санын b мәніне және -49 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 4\left(-49\right)}}{2\times 4}$$

21 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 4\left(-49\right)}}{2\times 4}$$

-4 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-16\left(-49\right)}}{2\times 4}$$

-16 санын -49 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441+784}}{2\times 4}$$

441 санын 784 санына қосу.

$$x=\frac{-21±\sqrt{1225}}{2\times 4}$$

1225 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-21±35}{2\times 4}$$

2 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-21±35}{8}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{-21±35}{8} теңдеуін шешіңіз. -21 санын 35 санына қосу.

$$x=\frac{14}{8}$$

2 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{14}{8} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x=\frac{7}{4}$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{-21±35}{8} теңдеуін шешіңіз. 35 мәнінен -21 мәнін алу.

$$x=-\frac{56}{8}$$

-56 санын 8 санына бөліңіз.

$$x=-7$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=\frac{7}{4} x=-7$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$4x^{2}+21x-49=0$$

Теңдеудің екі жағына да 49 санын қосыңыз.

$$4x^{2}+21x-49-\left(-49\right)=-\left(-49\right)$$

-49 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$4x^{2}+21x=-\left(-49\right)$$

-49 мәнінен 0 мәнін алу.

$$4x^{2}+21x=49$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$\frac{4x^{2}+21x}{4}=\frac{49}{4}$$

4 санына бөлген кезде 4 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}+\frac{21}{4}x=\frac{49}{4}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын \frac{21}{4} санын 2 мәніне бөлсеңіз, \frac{21}{8} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына \frac{21}{8} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}+\frac{21}{4}x+\left(\frac{21}{8}\right)^{2}=\frac{49}{4}+\left(\frac{21}{8}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы \frac{21}{8} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}+\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}=\frac{49}{4}+\frac{441}{64}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{49}{4} бөлшегіне \frac{441}{64} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x^{2}+\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}=\frac{1225}{64}$$

x^{2}+\frac{21}{4}x+\frac{441}{64} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x+\frac{21}{8}\right)^{2}=\frac{1225}{64}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{64}}$$

Қысқартыңыз.

$$x+\frac{21}{8}=\frac{35}{8} x+\frac{21}{8}=-\frac{35}{8}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{21}{8} санын алып тастаңыз.

$$x=\frac{7}{4} x=-7$$