3y^2-11y+10=0 шешу

$$3 y ^ { 2 } - 11 y + 10 = 0$$

y мәнін табыңыз

$$y=2$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы 3y^{2}+ay+by+10 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=-11 ab=3\times 10=30$$

ab оң болғандықтан, a және b белгілері бірдей болады. a+b теріс болғандықтан, a және b мәндері теріс болады. Көбейтіндісі 30 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Шешім — бұл -11 қосындысын беретін жұп.

$$a=-6 b=-5$$

3y^{2}-11y+10 мәнін \left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right)$$

Бірінші топтағы 3y ортақ көбейткішін және екінші топтағы -5 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$3y\left(y-2\right)-5\left(y-2\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы y-2 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(y-2\right)\left(3y-5\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, y-2=0 және 3y-5=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 3 санын a мәніне, -11 санын b мәніне және 10 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

-11 санының квадратын шығарыңыз.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

-4 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\times 10}}{2\times 3}$$

-12 санын 10 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2\times 3}$$

121 санын -120 санына қосу.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

1 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±1}{2\times 3}$$

-11 санына қарама-қарсы сан 11 мәніне тең.

$$y=\frac{11±1}{2\times 3}$$

2 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{11±1}{6}$$

Енді ± плюс болған кездегі y=\frac{11±1}{6} теңдеуін шешіңіз. 11 санын 1 санына қосу.

$$y=\frac{12}{6}$$

12 санын 6 санына бөліңіз.

$$y=2$$

Енді ± минус болған кездегі y=\frac{11±1}{6} теңдеуін шешіңіз. 1 мәнінен 11 мәнін алу.

$$y=\frac{10}{6}$$

2 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{10}{6} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$y=\frac{5}{3}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$3y^{2}-11y+10-10=-10$$

10 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$3y^{2}-11y=-10$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$\frac{3y^{2}-11y}{3}=-\frac{10}{3}$$

3 санына бөлген кезде 3 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{10}{3}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын -\frac{11}{3} санын 2 мәніне бөлсеңіз, -\frac{11}{6} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына -\frac{11}{6} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы -\frac{11}{6} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{121}{36}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{10}{3} бөлшегіне \frac{121}{36} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{1}{36}$$

y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Қысқартыңыз.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{1}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{1}{6}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{11}{6} санын қосыңыз.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$