3x+3y=24text{and}y=x+4 шешу

$$3 x + 3 y = 24 \text { and } y = x + 4$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$y-x=4$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+3y=24,-x+y=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+3y=24$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$3x=-3y+24$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-3y+24\right)$$

\frac{1}{3} санын -3y+24 санына көбейтіңіз.

$$x=-y+8$$

Басқа теңдеуде -y+8 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x+y=4.

$$-\left(-y+8\right)+y=4$$

-1 санын -y+8 санына көбейтіңіз.

$$y-8+y=4$$

y санын y санына қосу.

$$2y-8=4$$

Теңдеудің екі жағына да 8 санын қосыңыз.

$$2y=12$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=6$$

x=-y+8 теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-6+8$$

8 санын -6 санына қосу.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=6$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$y-x=4$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+3y=24,-x+y=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-3\left(-1\right)}&\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 24-\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{6}\times 24+\frac{1}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=6$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$y-x=4$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+3y=24,-x+y=4$$

3x және -x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$-3x-3y=-24,3\left(-1\right)x+3y=3\times 4$$

Қысқартыңыз.

$$-3x-3y=-24,-3x+3y=12$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -3x+3y=12 мәнін -3x-3y=-24 мәнінен алып тастаңыз.

$$-3x+3x-3y-3y=-24-12$$

-3x санын 3x санына қосу. -3x және 3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-3y-3y=-24-12$$

-3y санын -3y санына қосу.

$$-6y=-24-12$$

-24 санын -12 санына қосу.

$$-6y=-36$$

Екі жағын да -6 санына бөліңіз.

$$y=6$$

-x+y=4 теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-x+6=4$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$-x=-2$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=6$$