3x+10y=102,3x+7y=84 шешу

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 7 y = 84$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=14$$

$$y=6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+10y=102$$

Теңдеудің екі жағынан 10y санын алып тастаңыз.

$$3x=-10y+102$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

\frac{1}{3} санын -10y+102 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

Басқа теңдеуде -\frac{10y}{3}+34 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+7y=84.

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+7y=84$$

3 санын -\frac{10y}{3}+34 санына көбейтіңіз.

$$-10y+102+7y=84$$

-10y санын 7y санына қосу.

$$-3y+102=84$$

Теңдеудің екі жағынан 102 санын алып тастаңыз.

$$-3y=-18$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=6$$

x=-\frac{10}{3}y+34 теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{10}{3}\times 6+34$$

-\frac{10}{3} санын 6 санына көбейтіңіз.

$$x=-20+34$$

34 санын -20 санына қосу.

$$x=14$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=14,y=6$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-10\times 3}&-\frac{10}{3\times 7-10\times 3}\\-\frac{3}{3\times 7-10\times 3}&\frac{3}{3\times 7-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{9}&\frac{10}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{9}\times 102+\frac{10}{9}\times 84\\\frac{1}{3}\times 102-\frac{1}{3}\times 84\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=14,y=6$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x+7y=84 мәнін 3x+10y=102 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x+10y-7y=102-84$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10y-7y=102-84$$

10y санын -7y санына қосу.

$$3y=102-84$$

102 санын -84 санына қосу.

$$3y=18$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=6$$

3x+7y=84 теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+7\times 6=84$$

7 санын 6 санына көбейтіңіз.

$$3x+42=84$$

Теңдеудің екі жағынан 42 санын алып тастаңыз.

$$3x=42$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=14$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=14,y=6$$