3n^2-4n-15=0 шешу

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

n мәнін табыңыз

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы 3n^{2}+an+bn-15 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні теріс болғандықтан, теріс санның абсолютті мәні оң санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -45 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Шешім — бұл -4 қосындысын беретін жұп.

$$a=-9 b=5$$

3n^{2}-4n-15 мәнін \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Бірінші топтағы 3n ортақ көбейткішін және екінші топтағы 5 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы n-3 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, n-3=0 және 3n+5=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 3 санын a мәніне, -4 санын b мәніне және -15 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 санының квадратын шығарыңыз.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-12 санын -15 санына көбейтіңіз.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

16 санын 180 санына қосу.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

-4 санына қарама-қарсы сан 4 мәніне тең.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

2 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Енді ± плюс болған кездегі n=\frac{4±14}{6} теңдеуін шешіңіз. 4 санын 14 санына қосу.

$$n=\frac{18}{6}$$

18 санын 6 санына бөліңіз.

$$n=3$$

Енді ± минус болған кездегі n=\frac{4±14}{6} теңдеуін шешіңіз. 14 мәнінен 4 мәнін алу.

$$n=-\frac{10}{6}$$

2 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{-10}{6} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Теңдеудің екі жағына да 15 санын қосыңыз.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

-15 мәнінен 0 мәнін алу.

$$3n^{2}-4n=15$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

3 санына бөлген кезде 3 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

15 санын 3 санына бөліңіз.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын -\frac{4}{3} санын 2 мәніне бөлсеңіз, -\frac{2}{3} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына -\frac{2}{3} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы -\frac{2}{3} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

5 санын \frac{4}{9} санына қосу.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Қысқартыңыз.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{2}{3} санын қосыңыз.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$