3x^2-31x-60=0 шешу

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

x мәнін табыңыз

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы 3x^{2}+ax+bx-60 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні теріс болғандықтан, теріс санның абсолютті мәні оң санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -180 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Шешім — бұл -31 қосындысын беретін жұп.

$$a=-36 b=5$$

3x^{2}-31x-60 мәнін \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Бірінші топтағы 3x ортақ көбейткішін және екінші топтағы 5 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы x-12 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, x-12=0 және 3x+5=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 3 санын a мәніне, -31 санын b мәніне және -60 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-31 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-4 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-12 санын -60 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

961 санын 720 санына қосу.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

1681 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

-31 санына қарама-қарсы сан 31 мәніне тең.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

2 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{31±41}{6} теңдеуін шешіңіз. 31 санын 41 санына қосу.

$$x=\frac{72}{6}$$

72 санын 6 санына бөліңіз.

$$x=12$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{31±41}{6} теңдеуін шешіңіз. 41 мәнінен 31 мәнін алу.

$$x=-\frac{10}{6}$$

2 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{-10}{6} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Теңдеудің екі жағына да 60 санын қосыңыз.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

-60 мәнінен 0 мәнін алу.

$$3x^{2}-31x=60$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

3 санына бөлген кезде 3 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

60 санын 3 санына бөліңіз.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын -\frac{31}{3} санын 2 мәніне бөлсеңіз, -\frac{31}{6} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына -\frac{31}{6} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы -\frac{31}{6} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

20 санын \frac{961}{36} санына қосу.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Қысқартыңыз.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{31}{6} санын қосыңыз.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$