2x-3y+5=0,4x+ky-2=0 шешу

$$2 x - 3 y + 5 = 0,4 x + k y - 2 = 0$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

$$y=\frac{12}{k+6}$$

$$k\neq -6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-3y+5=0$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$2x-3y=-5$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$2x=3y-5$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

\frac{1}{2} санын 3y-5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y-5}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+ky-2=0.

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+ky-2=0$$

4 санын \frac{3y-5}{2} санына көбейтіңіз.

$$6y-10+ky-2=0$$

6y санын ky санына қосу.

$$\left(k+6\right)y-10-2=0$$

-10 санын -2 санына қосу.

$$\left(k+6\right)y-12=0$$

Теңдеудің екі жағына да 12 санын қосыңыз.

$$\left(k+6\right)y=12$$

Екі жағын да 6+k санына бөліңіз.

$$y=\frac{12}{k+6}$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2} теңдеуінде \frac{12}{6+k} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{12}{k+6}-\frac{5}{2}$$

\frac{3}{2} санын \frac{12}{6+k} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{18}{k+6}-\frac{5}{2}$$

-\frac{5}{2} санын \frac{18}{6+k} санына қосу.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2k-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2k-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2k-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2k-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}&\frac{3}{2\left(k+6\right)}\\-\frac{2}{k+6}&\frac{1}{k+6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}\left(-5\right)+\frac{3}{2\left(k+6\right)}\times 2\\\left(-\frac{2}{k+6}\right)\left(-5\right)+\frac{1}{k+6}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}\\\frac{12}{k+6}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

2x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y+4\times 5=0,2\times 4x+2ky+2\left(-2\right)=0$$

Қысқартыңыз.

$$8x-12y+20=0,8x+2ky-4=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x+2ky-4=0 мәнін 8x-12y+20=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x-8x-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

8x санын -8x санына қосу. 8x және -8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

-12y санын -2ky санына қосу.

$$\left(-2k-12\right)y+20+4=0$$

20 санын 4 санына қосу.

$$\left(-2k-12\right)y+24=0$$

Теңдеудің екі жағынан 24 санын алып тастаңыз.

$$\left(-2k-12\right)y=-24$$

Екі жағын да -12-2k санына бөліңіз.

$$y=\frac{12}{k+6}$$

4x+ky-2=0 теңдеуінде \frac{12}{6+k} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+k\times \frac{12}{k+6}-2=0$$

k санын \frac{12}{6+k} санына көбейтіңіз.

$$4x+\frac{12k}{k+6}-2=0$$

\frac{12k}{6+k} санын -2 санына қосу.

$$4x+\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2\left(5k-6\right)}{6+k} санын алып тастаңыз.

$$4x=-\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$