2x^2-12x-65=45 шешу

$$2 x ^ { 2 } - 12 x - 65 = 45$$

x мәнін табыңыз

$$x=-5$$

$$x=11$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Екі жағынан да 45 мәнін қысқартыңыз.

$$2x^{2}-12x-65-45=0$$

-110 мәнін алу үшін, -65 мәнінен 45 мәнін алып тастаңыз.

$$2x^{2}-12x-110=0$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x^{2}-6x-55=0$$

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы x^{2}+ax+bx-55 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=-6 ab=1\left(-55\right)=-55$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні теріс болғандықтан, теріс санның абсолютті мәні оң санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -55 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$1,-55 5,-11$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$1-55=-54 5-11=-6$$

Шешім — бұл -6 қосындысын беретін жұп.

$$a=-11 b=5$$

x^{2}-6x-55 мәнін \left(x^{2}-11x\right)+\left(5x-55\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(5x-55\right)$$

Бірінші топтағы x ортақ көбейткішін және екінші топтағы 5 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$x\left(x-11\right)+5\left(x-11\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы x-11 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(x-11\right)\left(x+5\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, x-11=0 және x+5=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=11 x=-5$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$2x^{2}-12x-65=45$$

Теңдеудің екі жағынан 45 санын алып тастаңыз.

$$2x^{2}-12x-65-45=45-45$$

45 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$2x^{2}-12x-65-45=0$$

45 мәнінен -65 мәнін алу.

$$2x^{2}-12x-110=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 2 санын a мәніне, -12 санын b мәніне және -110 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\left(-110\right)}}{2\times 2}$$

-12 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 2\left(-110\right)}}{2\times 2}$$

-4 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-8\left(-110\right)}}{2\times 2}$$

-8 санын -110 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+880}}{2\times 2}$$

144 санын 880 санына қосу.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{1024}}{2\times 2}$$

1024 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±32}{2\times 2}$$

-12 санына қарама-қарсы сан 12 мәніне тең.

$$x=\frac{12±32}{2\times 2}$$

2 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{12±32}{4}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{12±32}{4} теңдеуін шешіңіз. 12 санын 32 санына қосу.

$$x=\frac{44}{4}$$

44 санын 4 санына бөліңіз.

$$x=11$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{12±32}{4} теңдеуін шешіңіз. 32 мәнінен 12 мәнін алу.

$$x=-\frac{20}{4}$$

-20 санын 4 санына бөліңіз.

$$x=-5$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=11 x=-5$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$2x^{2}-12x-65=45$$

Теңдеудің екі жағына да 65 санын қосыңыз.

$$2x^{2}-12x-65-\left(-65\right)=45-\left(-65\right)$$

-65 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$2x^{2}-12x=45-\left(-65\right)$$

-65 мәнінен 45 мәнін алу.

$$2x^{2}-12x=110$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$\frac{2x^{2}-12x}{2}=\frac{110}{2}$$

2 санына бөлген кезде 2 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{2}\right)x=\frac{110}{2}$$

-12 санын 2 санына бөліңіз.

$$x^{2}-6x=\frac{110}{2}$$

110 санын 2 санына бөліңіз.

$$x^{2}-6x=55$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын -6 санын 2 мәніне бөлсеңіз, -3 саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына -3 квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=55+\left(-3\right)^{2}$$

-3 санының квадратын шығарыңыз.

$$x^{2}-6x+9=55+9$$

55 санын 9 санына қосу.

$$x^{2}-6x+9=64$$

x^{2}-6x+9 көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x-3\right)^{2}=64$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Қысқартыңыз.

$$x-3=8 x-3=-8$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$x=11 x=-5$$