2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4 шешу

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=6$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+6$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+6 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}+3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

6 санын -\frac{3y}{2}+3 санына көбейтіңіз.

$$-9y+18-5y=4$$

-9y санын -5y санына қосу.

$$-14y+18=4$$

Теңдеудің екі жағынан 18 санын алып тастаңыз.

$$-14y=-14$$

Екі жағын да -14 санына бөліңіз.

$$y=1$$

x=-\frac{3}{2}y+3 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

3 санын -\frac{3}{2} санына қосу.

$$x=\frac{3}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

2x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Қысқартыңыз.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x-10y=8 мәнін 12x+18y=36 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$18y+10y=36-8$$

18y санын 10y санына қосу.

$$28y=36-8$$

36 санын -8 санына қосу.

$$28y=28$$

Екі жағын да 28 санына бөліңіз.

$$y=1$$

6x-5y=4 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x-5=4$$

Теңдеудің екі жағына да 5 санын қосыңыз.

$$6x=9$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{3}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$