15x^2-4x-4=0 шешу

$$15 x ^ { 2 } - 4 x - 4 = 0$$

x мәнін табыңыз

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы 15x^{2}+ax+bx-4 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=-4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні теріс болғандықтан, теріс санның абсолютті мәні оң санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -60 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Шешім — бұл -4 қосындысын беретін жұп.

$$a=-10 b=6$$

15x^{2}-4x-4 мәнін \left(15x^{2}-10x\right)+\left(6x-4\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(15x^{2}-10x\right)+\left(6x-4\right)$$

Бірінші топтағы 5x ортақ көбейткішін және екінші топтағы 2 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$5x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы 3x-2 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(3x-2\right)\left(5x+2\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, 3x-2=0 және 5x+2=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$15x^{2}-4x-4=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 15 санын a мәніне, -4 санын b мәніне және -4 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-4 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-4 санын 15 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-60 санын -4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

16 санын 240 санына қосу.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

256 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 15}$$

-4 санына қарама-қарсы сан 4 мәніне тең.

$$x=\frac{4±16}{2\times 15}$$

2 санын 15 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4±16}{30}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{4±16}{30} теңдеуін шешіңіз. 4 санын 16 санына қосу.

$$x=\frac{20}{30}$$

10 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{20}{30} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x=\frac{2}{3}$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{4±16}{30} теңдеуін шешіңіз. 16 мәнінен 4 мәнін алу.

$$x=-\frac{12}{30}$$

6 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{-12}{30} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$15x^{2}-4x-4=0$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$15x^{2}-4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$15x^{2}-4x=-\left(-4\right)$$

-4 мәнінен 0 мәнін алу.

$$15x^{2}-4x=4$$

Екі жағын да 15 санына бөліңіз.

$$\frac{15x^{2}-4x}{15}=\frac{4}{15}$$

15 санына бөлген кезде 15 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}-\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын -\frac{4}{15} санын 2 мәніне бөлсеңіз, -\frac{2}{15} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына -\frac{2}{15} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}-\frac{4}{15}x+\left(-\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы -\frac{2}{15} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}-\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{4}{15} бөлшегіне \frac{4}{225} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x^{2}-\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

x^{2}-\frac{4}{15}x+\frac{4}{225} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x-\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Қысқартыңыз.

$$x-\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x-\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{2}{15} санын қосыңыз.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{2}{5}$$