13n^2-41n-120=0 шешу

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

n мәнін табыңыз

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1.846153846$$

$$n=5$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы 13n^{2}+an+bn-120 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні теріс болғандықтан, теріс санның абсолютті мәні оң санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -1560 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Шешім — бұл -41 қосындысын беретін жұп.

$$a=-65 b=24$$

13n^{2}-41n-120 мәнін \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Бірінші топтағы 13n ортақ көбейткішін және екінші топтағы 24 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы n-5 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, n-5=0 және 13n+24=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 13 санын a мәніне, -41 санын b мәніне және -120 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-41 санының квадратын шығарыңыз.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-4 санын 13 санына көбейтіңіз.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-52 санын -120 санына көбейтіңіз.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

1681 санын 6240 санына қосу.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

7921 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

-41 санына қарама-қарсы сан 41 мәніне тең.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

2 санын 13 санына көбейтіңіз.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Енді ± плюс болған кездегі n=\frac{41±89}{26} теңдеуін шешіңіз. 41 санын 89 санына қосу.

$$n=\frac{130}{26}$$

130 санын 26 санына бөліңіз.

$$n=5$$

Енді ± минус болған кездегі n=\frac{41±89}{26} теңдеуін шешіңіз. 89 мәнінен 41 мәнін алу.

$$n=-\frac{48}{26}$$

2 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{-48}{26} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Теңдеудің екі жағына да 120 санын қосыңыз.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

-120 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

-120 мәнінен 0 мәнін алу.

$$13n^{2}-41n=120$$

Екі жағын да 13 санына бөліңіз.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

13 санына бөлген кезде 13 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын -\frac{41}{13} санын 2 мәніне бөлсеңіз, -\frac{41}{26} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына -\frac{41}{26} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы -\frac{41}{26} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{120}{13} бөлшегіне \frac{1681}{676} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Қысқартыңыз.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{41}{26} санын қосыңыз.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$