12x^2+11x-15=0 шешу

$$12 x ^ { 2 } + 11 x - 15 = 0$$

x мәнін табыңыз

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы 12x^{2}+ax+bx-15 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні оң болғандықтан, оң санның абсолютті мәні теріс санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -180 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Шешім — бұл 11 қосындысын беретін жұп.

$$a=-9 b=20$$

12x^{2}+11x-15 мәнін \left(12x^{2}-9x\right)+\left(20x-15\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(20x-15\right)$$

Бірінші топтағы 3x ортақ көбейткішін және екінші топтағы 5 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$3x\left(4x-3\right)+5\left(4x-3\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы 4x-3 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+5\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, 4x-3=0 және 3x+5=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{3}$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$12x^{2}+11x-15=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 12 санын a мәніне, 11 санын b мәніне және -15 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

11 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-4 санын 12 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-48 санын -15 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

121 санын 720 санына қосу.

$$x=\frac{-11±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

841 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-11±29}{2\times 12}$$

2 санын 12 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-11±29}{24}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{-11±29}{24} теңдеуін шешіңіз. -11 санын 29 санына қосу.

$$x=\frac{18}{24}$$

6 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{18}{24} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x=\frac{3}{4}$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{-11±29}{24} теңдеуін шешіңіз. 29 мәнінен -11 мәнін алу.

$$x=-\frac{40}{24}$$

8 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{-40}{24} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{3}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$12x^{2}+11x-15=0$$

Теңдеудің екі жағына да 15 санын қосыңыз.

$$12x^{2}+11x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$12x^{2}+11x=-\left(-15\right)$$

-15 мәнінен 0 мәнін алу.

$$12x^{2}+11x=15$$

Екі жағын да 12 санына бөліңіз.

$$\frac{12x^{2}+11x}{12}=\frac{15}{12}$$

12 санына бөлген кезде 12 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x=\frac{15}{12}$$

3 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{15}{12} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x=\frac{5}{4}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын \frac{11}{12} санын 2 мәніне бөлсеңіз, \frac{11}{24} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына \frac{11}{24} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\left(\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы \frac{11}{24} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{4} бөлшегіне \frac{121}{576} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x+\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Қысқартыңыз.

$$x+\frac{11}{24}=\frac{29}{24} x+\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{11}{24} санын алып тастаңыз.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{3}$$