12r^2-11r-15=0 шешу

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

r мәнін табыңыз

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы 12r^{2}+ar+br-15 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

ab теріс болғандықтан, a және b белгілері теріс болады. a+b мәні теріс болғандықтан, теріс санның абсолютті мәні оң санға қарағанда үлкенірек болады. Көбейтіндісі -180 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Шешім — бұл -11 қосындысын беретін жұп.

$$a=-20 b=9$$

12r^{2}-11r-15 мәнін \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

Бірінші топтағы 4r ортақ көбейткішін және екінші топтағы 3 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы 3r-5 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, 3r-5=0 және 4r+3=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 12 санын a мәніне, -11 санын b мәніне және -15 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-11 санының квадратын шығарыңыз.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-4 санын 12 санына көбейтіңіз.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-48 санын -15 санына көбейтіңіз.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

121 санын 720 санына қосу.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

841 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

-11 санына қарама-қарсы сан 11 мәніне тең.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

2 санын 12 санына көбейтіңіз.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Енді ± плюс болған кездегі r=\frac{11±29}{24} теңдеуін шешіңіз. 11 санын 29 санына қосу.

$$r=\frac{40}{24}$$

8 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{40}{24} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$r=\frac{5}{3}$$

Енді ± минус болған кездегі r=\frac{11±29}{24} теңдеуін шешіңіз. 29 мәнінен 11 мәнін алу.

$$r=-\frac{18}{24}$$

6 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{-18}{24} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$r=-\frac{3}{4}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Теңдеудің екі жағына да 15 санын қосыңыз.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

-15 мәнінен 0 мәнін алу.

$$12r^{2}-11r=15$$

Екі жағын да 12 санына бөліңіз.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

12 санына бөлген кезде 12 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

3 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{15}{12} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын -\frac{11}{12} санын 2 мәніне бөлсеңіз, -\frac{11}{24} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына -\frac{11}{24} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы -\frac{11}{24} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{4} бөлшегіне \frac{121}{576} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Қысқартыңыз.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{11}{24} санын қосыңыз.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$