-x^2+20x-75=16 шешу

$$- x ^ { 2 } + 20 x - 75 = 16$$

x мәнін табыңыз

$$x=7$$

$$x=13$$

Топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеу әдісі

Екі жағынан да 16 мәнін қысқартыңыз.

$$-x^{2}+20x-75-16=0$$

-91 мәнін алу үшін, -75 мәнінен 16 мәнін алып тастаңыз.

$$-x^{2}+20x-91=0$$

Теңдеуді шешу үшін, сол жағын топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеңіз. Алдымен, сол жағы -x^{2}+ax+bx-91 ретінде қайта жазылуы керек. a және b мәндерін табу үшін, жүйені шешу әрекетіне реттеңіз.

$$a+b=20 ab=-\left(-91\right)=91$$

ab оң болғандықтан, a және b белгілері бірдей болады. a+b оң болғандықтан, a және b мәндері оң болады. Көбейтіндісі 91 мәнін беретін барлық бүтін жұп сандарды тізімдеңіз.

$$1,91 7,13$$

Әр жұптың қосындысын есептеңіз.

$$1+91=92 7+13=20$$

Шешім — бұл 20 қосындысын беретін жұп.

$$a=13 b=7$$

-x^{2}+20x-91 мәнін \left(-x^{2}+13x\right)+\left(7x-91\right) ретінде қайта жазыңыз.

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(7x-91\right)$$

Бірінші топтағы -x ортақ көбейткішін және екінші топтағы 7 ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

$$-x\left(x-13\right)+7\left(x-13\right)$$

Үлестіру сипаты арқылы x-13 ортақ көбейткішін жақша сыртына шығарыңыз.

$$\left(x-13\right)\left(-x+7\right)$$

Теңдеулердің шешімін табу үшін, x-13=0 және -x+7=0 теңдіктерін шешіңіз.

$$x=13 x=7$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Формуланың барлық теңдеулерін ax^{2}+bx+c=0 квадраттық формуланың көмегімен шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формула бірінші шешімі ± плюс мәнді болғандағы, ал екіншісі шешімі минус мәнді болғандағы екі шешім ұсынады.

$$-x^{2}+20x-75=16$$

Теңдеудің екі жағынан 16 санын алып тастаңыз.

$$-x^{2}+20x-75-16=16-16$$

16 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$-x^{2}+20x-75-16=0$$

16 мәнінен -75 мәнін алу.

$$-x^{2}+20x-91=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде -1 санын a мәніне, 20 санын b мәніне және -91 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-1\right)\left(-91\right)}}{2\left(-1\right)}$$

20 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-1\right)\left(-91\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+4\left(-91\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 санын -91 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-364}}{2\left(-1\right)}$$

400 санын -364 санына қосу.

$$x=\frac{-20±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

36 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-20±6}{2\left(-1\right)}$$

2 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-20±6}{-2}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{-20±6}{-2} теңдеуін шешіңіз. -20 санын 6 санына қосу.

$$x=-\frac{14}{-2}$$

-14 санын -2 санына бөліңіз.

$$x=7$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{-20±6}{-2} теңдеуін шешіңіз. 6 мәнінен -20 мәнін алу.

$$x=-\frac{26}{-2}$$

-26 санын -2 санына бөліңіз.

$$x=13$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=7 x=13$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

Осыған ұқсас квадрат теңдеулерді толық квадратқа дейін толтыру арқылы шешуге болады. Толық квадратқа дейін толтыру үшін, теңдеуді алдымен x^{2}+bx=c формуласына қою қажет.

$$-x^{2}+20x-75=16$$

Теңдеудің екі жағына да 75 санын қосыңыз.

$$-x^{2}+20x-75-\left(-75\right)=16-\left(-75\right)$$

-75 санынан осы санның өзін алып тастаған кезде 0 қалады.

$$-x^{2}+20x=16-\left(-75\right)$$

-75 мәнінен 16 мәнін алу.

$$-x^{2}+20x=91$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$\frac{-x^{2}+20x}{-1}=\frac{91}{-1}$$

-1 санына бөлген кезде -1 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}+\frac{20}{-1}x=\frac{91}{-1}$$

20 санын -1 санына бөліңіз.

$$x^{2}-20x=\frac{91}{-1}$$

91 санын -1 санына бөліңіз.

$$x^{2}-20x=-91$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын -20 санын 2 мәніне бөлсеңіз, -10 саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына -10 квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}-20x+\left(-10\right)^{2}=-91+\left(-10\right)^{2}$$

-10 санының квадратын шығарыңыз.

$$x^{2}-20x+100=-91+100$$

-91 санын 100 санына қосу.

$$x^{2}-20x+100=9$$

x^{2}-20x+100 көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x-10\right)^{2}=9$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x-10\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Қысқартыңыз.

$$x-10=3 x-10=-3$$

Теңдеудің екі жағына да 10 санын қосыңыз.

$$x=13 x=7$$