-3x+2y=-6text{and}2x+4y=20 шешу

$$- 3 x + 2 y = - 6 \text { and } 2 x + 4 y = 20$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-3x+2y=-6,2x+4y=20$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-3x+2y=-6$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$-3x=-2y-6$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2y-6\right)$$

-\frac{1}{3} санын -2y-6 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

Басқа теңдеуде \frac{2y}{3}+2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+4y=20.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+4y=20$$

2 санын \frac{2y}{3}+2 санына көбейтіңіз.

$$\frac{4}{3}y+4+4y=20$$

\frac{4y}{3} санын 4y санына қосу.

$$\frac{16}{3}y+4=20$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$\frac{16}{3}y=16$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{16}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=3$$

x=\frac{2}{3}y+2 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{2}{3}\times 3+2$$

\frac{2}{3} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=2+2$$

2 санын 2 санына қосу.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-3x+2y=-6,2x+4y=20$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{-3\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{-3\times 4-2\times 2}&-\frac{3}{-3\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{8}\times 20\\\frac{1}{8}\left(-6\right)+\frac{3}{16}\times 20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=4,y=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-3x+2y=-6,2x+4y=20$$

-3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -3 санына көбейтіңіз.

$$2\left(-3\right)x+2\times 2y=2\left(-6\right),-3\times 2x-3\times 4y=-3\times 20$$

Қысқартыңыз.

$$-6x+4y=-12,-6x-12y=-60$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -6x-12y=-60 мәнін -6x+4y=-12 мәнінен алып тастаңыз.

$$-6x+6x+4y+12y=-12+60$$

-6x санын 6x санына қосу. -6x және 6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y+12y=-12+60$$

4y санын 12y санына қосу.

$$16y=-12+60$$

-12 санын 60 санына қосу.

$$16y=48$$

Екі жағын да 16 санына бөліңіз.

$$y=3$$

2x+4y=20 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+4\times 3=20$$

4 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$2x+12=20$$

Теңдеудің екі жағынан 12 санын алып тастаңыз.

$$2x=8$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=3$$