x^2-x-1>0 шешу

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

x теңдеуін шешу

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Теңсіздікті шешу үшін, сол жағын көбейткіштерге жіктеңіз. Квадраттық көпмүшені мына түрлендіру арқылы көбейткіштерге жіктеуге болады: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), мұнда x_{1} және x_{2} — ax^{2}+bx+c=0 квадрат теңдеуінің шешімдері.

$$x^{2}-x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 үлгісіндегі барлық теңдеулерді квадраттық формула арқылы шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формуладағы 1 мәнін a мәніне, -1 мәнін b мәніне және -1 мәнін c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Есептеңіз.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

± мәні плюс, ал ± мәні минус болған кездегі "x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}" теңдеуін шешіңіз.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Теңсіздікті алынған шешімдер арқылы қайта жазыңыз.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Оң болатын көбейтінді үшін, x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} және x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} мәндерінің екеуі де теріс немесе оң болуы керек. x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} және x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} мәндерінің екеуі де теріс болған жағдайды қарастырыңыз.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Екі теңсіздікті де шешетін мән — x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} және x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} мәндерінің екеуі де оң болған жағдайды қарастырыңыз.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Екі теңсіздікті де шешетін мән — x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Соңғы шешім — алынған шешімдерді біріктіру.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$