left(2x-3right)^2-left(x-5right)^2=-23 шешу

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } - { \left(x-5 \right) }^{ 2 } =-23$$

x мәнін табыңыз (complex solution)

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0.333333333+1.490711985i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0.333333333-1.490711985i$$

Квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

\left(2x-3\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

\left(x-5\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

x^{2}-10x+25 теңдеуінің қарсы мәнін табу үшін, әр мүшенің қарсы мәнін табыңыз.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

4x^{2} және -x^{2} мәндерін қоссаңыз, 3x^{2} мәні шығады.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

-12x және 10x мәндерін қоссаңыз, -2x мәні шығады.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

-16 мәнін алу үшін, 9 мәнінен 25 мәнін алып тастаңыз.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Екі жағына 23 қосу.

$$3x^{2}-2x-16+23=0$$

7 мәнін алу үшін, -16 және 23 мәндерін қосыңыз.

$$3x^{2}-2x+7=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 3 санын a мәніне, -2 санын b мәніне және 7 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-2 санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-4 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 7}}{2\times 3}$$

-12 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-84}}{2\times 3}$$

4 санын -84 санына қосу.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-80}}{2\times 3}$$

-80 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

-2 санына қарама-қарсы сан 2 мәніне тең.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

2 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} теңдеуін шешіңіз. 2 санын 4i\sqrt{5} санына қосу.

$$x=\frac{2+4\sqrt{5}i}{6}$$

2+4i\sqrt{5} санын 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} теңдеуін шешіңіз. 4i\sqrt{5} мәнінен 2 мәнін алу.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+2}{6}$$

2-4i\sqrt{5} санын 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Теңдеу енді шешілді.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Толық квадратқа толтыру қадамдары

\left(2x-3\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

\left(x-5\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

x^{2}-10x+25 теңдеуінің қарсы мәнін табу үшін, әр мүшенің қарсы мәнін табыңыз.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

4x^{2} және -x^{2} мәндерін қоссаңыз, 3x^{2} мәні шығады.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

-12x және 10x мәндерін қоссаңыз, -2x мәні шығады.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

-16 мәнін алу үшін, 9 мәнінен 25 мәнін алып тастаңыз.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Екі жағына 16 қосу.

$$3x^{2}-2x=-23+16$$

-7 мәнін алу үшін, -23 және 16 мәндерін қосыңыз.

$$3x^{2}-2x=-7$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{7}{3}$$

3 санына бөлген кезде 3 санына көбейту әрекетінің күшін жояды.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{7}{3}$$

x бос мүшесінің коэффициенті болып табылатын -\frac{2}{3} санын 2 мәніне бөлсеңіз, -\frac{1}{3} саны шығады. Содан соң, теңдеудің екі жағына -\frac{1}{3} квадратын қосыңыз. Бұл қадам теңдеудің сол жағының толық квадратын шығарады.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Бөлшектің алымы мен бөлімінің квадратын шығару арқылы -\frac{1}{3} бөлшегінің квадратын табыңыз.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{9}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{7}{3} бөлшегіне \frac{1}{9} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{20}{9}$$

x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} көбейткіштерге жіктеу. Әдетте, x^{2}+bx+c толық квадрат болса, оны әрдайым \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

Теңдеудің екі жағының квадрат түбірін шығарыңыз.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

Қысқартыңыз.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{1}{3} санын қосыңыз.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$