sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4 шешу

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

x мәнін табыңыз (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3.31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3.31662479i$$

Шешім қадамдары

Теңдеудің екі жағынан -\sqrt{15+x^{2}} санын алып тастаңыз.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Теңдеудің екі жағының да квадратын шығарыңыз.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

2 дәреже көрсеткішінің \sqrt{25-x^{2}} мәнін есептеп, 25-x^{2} мәнін алыңыз.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

2 дәреже көрсеткішінің \sqrt{15+x^{2}} мәнін есептеп, 15+x^{2} мәнін алыңыз.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

31 мәнін алу үшін, 16 және 15 мәндерін қосыңыз.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Теңдеудің екі жағынан 31+x^{2} санын алып тастаңыз.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

31+x^{2} теңдеуінің қарсы мәнін табу үшін, әр мүшенің қарсы мәнін табыңыз.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

-6 мәнін алу үшін, 25 мәнінен 31 мәнін алып тастаңыз.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

-x^{2} және -x^{2} мәндерін қоссаңыз, -2x^{2} мәні шығады.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Теңдеудің екі жағының да квадратын шығарыңыз.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(-6-2x^{2}\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Бір санның дәрежесін басқа дәрежеге көтеру үшін, дәреже көрсеткіштерін көбейтіңіз. 4 көрсеткішін алу үшін, 2 және 2 мәндерін көбейтіңіз.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

"\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}" жаю.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

2 дәреже көрсеткішінің 8 мәнін есептеп, 64 мәнін алыңыз.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

2 дәреже көрсеткішінің \sqrt{15+x^{2}} мәнін есептеп, 15+x^{2} мәнін алыңыз.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

64 мәнін 15+x^{2} мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Екі жағынан да 960 мәнін қысқартыңыз.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

-924 мәнін алу үшін, 36 мәнінен 960 мәнін алып тастаңыз.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Екі жағынан да 64x^{2} мәнін қысқартыңыз.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

24x^{2} және -64x^{2} мәндерін қоссаңыз, -40x^{2} мәні шығады.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

x^{2} мәнін t мәніне ауыстырыңыз.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

ax^{2}+bx+c=0 үлгісіндегі барлық теңдеулерді квадраттық формула арқылы шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формуладағы 4 мәнін a мәніне, -40 мәнін b мәніне және -924 мәнін c мәніне ауыстырыңыз.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Есептеңіз.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

± мәні плюс, ал ± мәні минус болған кездегі "t=\frac{40±128}{8}" теңдеуін шешіңіз.

$$t=21 t=-11$$

x=t^{2} болғандықтан, шешімдер әр t мәні үшін x=±\sqrt{t} мәнін есептеу арқылы алынады.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

\sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 теңдеуінде x мәнін -\sqrt{21} мәніне ауыстырыңыз.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Қысқартыңыз. x=-\sqrt{21} мәні теңдеуді қанағаттандырмайды, себебі сол және оң жақтағы мәндер қарама-қарсы болып табылады.

$$-4=4$$

\sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 теңдеуінде x мәнін \sqrt{21} мәніне ауыстырыңыз.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Қысқартыңыз. x=\sqrt{21} мәні теңдеуді қанағаттандырмайды, себебі сол және оң жақтағы мәндер қарама-қарсы болып табылады.

$$-4=4$$

\sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 теңдеуінде x мәнін -\sqrt{11}i мәніне ауыстырыңыз.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Қысқартыңыз. x=-\sqrt{11}i мәні теңдеуді қанағаттандырады.

$$4=4$$

\sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 теңдеуінде x мәнін \sqrt{11}i мәніне ауыстырыңыз.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Қысқартыңыз. x=\sqrt{11}i мәні теңдеуді қанағаттандырады.

$$4=4$$

\sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4 барлық шешімдерінің тізімі.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$