sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2 шешу

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

x мәнін табыңыз

$$x=\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3.16227766$$

Шешім қадамдары

Теңдеудің екі жағынан -\sqrt{19-x^{2}} санын алып тастаңыз.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Теңдеудің екі жағының да квадратын шығарыңыз.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

2 дәреже көрсеткішінің \sqrt{15+x^{2}} мәнін есептеп, 15+x^{2} мәнін алыңыз.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

2 дәреже көрсеткішінің \sqrt{19-x^{2}} мәнін есептеп, 19-x^{2} мәнін алыңыз.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

23 мәнін алу үшін, 4 және 19 мәндерін қосыңыз.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Теңдеудің екі жағынан 23-x^{2} санын алып тастаңыз.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

23-x^{2} теңдеуінің қарсы мәнін табу үшін, әр мүшенің қарсы мәнін табыңыз.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

-8 мәнін алу үшін, 15 мәнінен 23 мәнін алып тастаңыз.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

x^{2} және x^{2} мәндерін қоссаңыз, 2x^{2} мәні шығады.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Теңдеудің екі жағының да квадратын шығарыңыз.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\left(-8+2x^{2}\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Бір санның дәрежесін басқа дәрежеге көтеру үшін, дәреже көрсеткіштерін көбейтіңіз. 4 көрсеткішін алу үшін, 2 және 2 мәндерін көбейтіңіз.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

"\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}" жаю.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

2 дәреже көрсеткішінің 4 мәнін есептеп, 16 мәнін алыңыз.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

2 дәреже көрсеткішінің \sqrt{19-x^{2}} мәнін есептеп, 19-x^{2} мәнін алыңыз.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

16 мәнін 19-x^{2} мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Екі жағынан да 304 мәнін қысқартыңыз.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

-240 мәнін алу үшін, 64 мәнінен 304 мәнін алып тастаңыз.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Екі жағына 16x^{2} қосу.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

-32x^{2} және 16x^{2} мәндерін қоссаңыз, -16x^{2} мәні шығады.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

x^{2} мәнін t мәніне ауыстырыңыз.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

ax^{2}+bx+c=0 үлгісіндегі барлық теңдеулерді квадраттық формула арқылы шешуге болады: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Квадраттық формуладағы 4 мәнін a мәніне, -16 мәнін b мәніне және -240 мәнін c мәніне ауыстырыңыз.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Есептеңіз.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

± мәні плюс, ал ± мәні минус болған кездегі "t=\frac{16±64}{8}" теңдеуін шешіңіз.

$$t=10 t=-6$$

x=t^{2} болғандықтан, шешімдер оң t мәні үшін x=±\sqrt{t} мәнін есептеу арқылы алынады.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

\sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2 теңдеуінде x мәнін \sqrt{10} мәніне ауыстырыңыз.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Қысқартыңыз. x=\sqrt{10} мәні теңдеуді қанағаттандырады.

$$2=2$$

\sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2 теңдеуінде x мәнін -\sqrt{10} мәніне ауыстырыңыз.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Қысқартыңыз. x=-\sqrt{10} мәні теңдеуді қанағаттандырады.

$$2=2$$

\sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2 барлық шешімдерінің тізімі.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$