{l}{x-y=4}{3x-y=7} шешу

$$\left.\begin{array} { l } { x - y = 4 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right\}$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-y=4,3x-y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-y=4$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$x=y+4$$

Басқа теңдеуде y+4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-y=7.

$$3\left(y+4\right)-y=7$$

3 санын y+4 санына көбейтіңіз.

$$3y+12-y=7$$

3y санын -y санына қосу.

$$2y+12=7$$

Теңдеудің екі жағынан 12 санын алып тастаңыз.

$$2y=-5$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{5}{2}$$

x=y+4 теңдеуінде -\frac{5}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{2}+4$$

4 санын -\frac{5}{2} санына қосу.

$$x=\frac{3}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-y=4,3x-y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{3}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-y=4,3x-y=7$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x-y=7 мәнін x-y=4 мәнінен алып тастаңыз.

$$x-3x-y+y=4-7$$

-y санын y санына қосу. -y және y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$x-3x=4-7$$

x санын -3x санына қосу.

$$-2x=4-7$$

4 санын -7 санына қосу.

$$-2x=-3$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{3}{2}$$

3x-y=7 теңдеуінде \frac{3}{2} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$3\times \frac{3}{2}-y=7$$

3 санын \frac{3}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{9}{2}-y=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{9}{2} санын алып тастаңыз.

$$-y=\frac{5}{2}$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{5}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$